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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 6Q {,N'H  
06w:&|p  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. DW% oPMQ  
x?BtFTw$  
　　1、三角函数本质： <0xB5~3A  
?O8F?eB(  
　　三角函数的本质来源于定义 :HO<Sd(5  
a5u:R."  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %)}^X {7.  
RnCbH |  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 98VXlA! u  
cGw` W  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Uhs'&U%9  
@g+"!Vtb  
　　推导： 5A.~WO  
IZf13d93  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 p3w s  
7W9by\&+2  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) sMaej='  
mPiy1,D5  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) JGF"0Vq  
Jx}A+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 D%Og.p/+  
P(SKg/!\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 0^[T];*b[8  
[SGO, ^  
　　[1] (+8j0"CVOf  
`fu0;SmT;  
　　两角和公式 t(hOC-hV  
b[Cf!mtG  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB e-b9Cr  
m1VF/JAt  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  & JhL6J  
Ek-=w: r'  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?3*H #w-L  
l~|(}G*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4Dzz4!h  
jXz,eQy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )dC:ipl {s  
L ~:Tse>07  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) A"5yGPI$|w  
&anZyp9K  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +SGg(SP  
d`2Cd$%X  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) aER}%uiUTZ  
_Y^8V{qW  
倍角公式 _rn{a8d  
WDqv[U  
　　Sin2A=2SinA•CosA (V`hYG  
/e z[GS[D  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 am>Sy\<e  
9QX eq7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） W0-DUhW  
n,P0f  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .=/ .9Av  
]A?e>"qjl[  
三倍角公式 ,H{U{B $  
sSTalrB&  
　　 }OI"C^)!T  
^LB<jz{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J-Rs/e]eSW  
LW5T1^Y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;2c_h  
)j$<(H7V<h  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hze3l ,  
7EWMp<(4  
三倍角公式推导 =:Y>: n  
-VE b]  
　　sin3a ):&[sYB  
x^ t&el xJ  
　　=sin(2a+a) F ~ G||g0  
aEh qYIQu  
　　=sin2acosa+cos2asina 'dHN_x \p=  
$=|0a3)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina yho5 - I  
<>"2Od{R<  
　　=3sina-4sin³a kRH $8"0  
`B8R|Jv  
　　cos3a |l0>gs7U  
>s(m[<%&  
　　=cos(2a+a) gu'A:G  
{j9Hz(=  
　　=cos2acosa-sin2asina 0 >J *C&  
QN:!<SQ5  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }NMEf71/4  
{MT;~Z3  
　　=4cos³a-3cosa c],1<a2  
[_@GCM.Mg  
　　sin3a=3sina-4sin³a *: }'GN  
H9j`1h  
　　=4sina(3/4-sin²a) -+ &1:  
"*z"q|pZx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] hklqD=F]_  
> XU$g33  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) I"7JA\2C$  
C^{P$t!c_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) -SR<fa<~  
FE(Z[x0#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] %u15(;?  
<[jERj@}/s  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) (gI1>E)  
R  e}"  
　　cos3a=4cos³a-3cosa hZn2I:`azE  
<=Z(Zhc?A  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $mPc) +0  
N#:Q^  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] oXYK4'Les  
/&4^E  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) UIy wq /  
5qg`)*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) f9-5mf[  
uY'[1TK  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} C6Jt#-Olw  
@1IC:32K  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (]~>U  
S8 }-T1}V  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1As9c;j  
$6>oSN \  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ZT/F6J%  
F?KKe b  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Z)(lUwU6  
&qYS3Cy  
　　上述两式相比可得 2bQGJ+a!  
Odq$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) a`Ge w8^]}  
F4v5K+  
半角公式 8`9Ccg>m  
ra3}|.Z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); tTQk@\  
6IY"82k]uT  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "| ^SCO?k  
BN%nBzcb  
和差化积 pks8D(7^O  
0'Hil<v)  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bQ"QA0U[k  
>ew'-_@[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] z1HnQKNT  
ow qLV dD  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b1G"!*]>  
8U|V<s  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Uhr%<'Nb9  
5xPM+\s Da  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) P]aSm :  
q} (E\"3]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) * As%ck  
3-2vZ[1  
积化和差 jq 8xfY  
ti>-J/ vX  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <jy5H7[B  
Qc[52Y*sx  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] v8SWWgPNa  
4CQB0_o A  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $-I|Z9x 4  
I.y}B^'J  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Lb}XDWQk`  
e[Thqc$hP5  
诱导公式 P"4x6B  
"Nk8?h*)7  
　　sin(-α) = -sinα ^h.#*[d`!V  
z&} d:h  
　　cos(-α) = cosα kuKIF u6Y  
Z)19mDzr  
　　sin(π/2-α) = cosα Yepgx  
h{Z'S38l|  
　　cos(π/2-α) = sinα _(h;x p! h  
]>Ymt3$  
　　sin(π/2+α) = cosα h<j:UU!Yq  
KYBc(2_7  
　　cos(π/2+α) = -sinα k.590xX6  
a=8"(@5d  
　　sin(π-α) = sinα G/o#k}  
ivyC-]R  
　　cos(π-α) = -cosα % TXxd|^-W  
' /gvwvF  
　　sin(π+α) = -sinα 7! SL"tZ  
!zMaes,-ts  
　　cos(π+α) = -cosα ch^;NjjWc  
v/"$UI Gp  
　　tanA= sinA/cosA r@GSlHyH)  
(_X0 [Nky  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |;qIg2AHQ  
b`Nn!v  
　　tan（π/2－α）＝cotα #.P&,c4M  
l'd0.( ['`  
　　tan（π－α）＝－tanα )YT0#JPUr  
hsSS_cN  
　　tan（π＋α）＝tanα bV<]{}  
rMXGEy*U=y  
万能公式 JW$8gyh +  
[.DX%y>pF  
　　 JoF|X|n(*+  
9JG"Mo  
其它公式 #D)eN Pz  
Q9"^MLNc  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 H\s7;9DK  
nU3=TQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C 8nLh- h  
H(+ JC?}  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 V/b2<W ZR  
p~xY Fp[v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $C-.=e Xlo  
&G6!Cr~  
　　对于任意非直角三角形,总有 cmym  
%]@s;"7;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC J[_|kl^n3  
c(w%7`_  
　　证: ^`fddzr  
uz4U  w  
　　A+B=π-C 4_Jatc2  
<XfA.zuM  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8BXHqB!U@  
q|5h.NT  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) $aD+,m  
n.e]^ *  
　　整理可得 i [rTqI_  
GB ?lQSR  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $ >e"RC  
3 (J~inz  
　　得证 {~XUp  
Ub1y Sfdx  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >Ahd-i<  
*.$ukF,8  
其他非重点三角函数 0T9.?$  
jeH^V@ 4>  
　　csc(a) = 1/sin(a) 4OwBUN A  
%=#?t=v=  
　　sec(a) = 1/cos(a) A*mlyKe  
KQ<O E=+<|  
　　 }:z[e  
P( YGZHO  
双曲函数 9Qg.^ ~h  
[LwF![,C]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]7j>29 o  
n2GuR0 d  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ZmXWgT(2`]  
6Vo]XQdi  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) WqRE)Rn/  
*MN(*v%D8  
　　公式一：  4=82  
TVXy OQ_GO  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： hsvDm$hxv  
2m!!;2@T  
　　sin（2kπ＋α）= sinα mxK \P!  
. @~4EAD  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <~Q?/9d  
~L5 0B <  
　　tan（kπ＋α）= tanα UH1Pt%a  
] A{H  
　　cot（kπ＋α）= cotα O1)4<I&  
| NusLv)  
　　公式二： `%% !PI ;+  
|wm P]W  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 3 |U&[W  
@+5F=_xl  
　　sin（π＋α）= -sinα rwgSwS<h  
D!| YB:Q  
　　cos（π＋α）= -cosα B-?uki8/  
dE Eq)#Z>6  
　　tan（π＋α）= tanα Ily*y(  
b-PH=kO"  
　　cot（π＋α）= cotα ,DMl\M~g  
f 8mdr5[>  
　　公式三： a-7: l  
;aRuy<L  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： y I yj:$El  
}\|$N82S  
　　sin（-α）= -sinα )T]dYcF  
=>P8 2w  
　　cos（-α）= cosα @U{ ~Q  
6w39_  
　　tan（-α）= -tanα "RastXsh  
&'J/~!{fHP  
　　cot（-α）= -cotα A8`jw|"  
"")s%$9A  
　　公式四： w1[E,??  
pb O?c  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5*aD";&Ns  
t\p |X2  
　　sin（π-α）= sinα GJL.VIo!  
@Z1]eWv"  
　　cos（π-α）= -cosα z9PB+F  
#w$O)U5y  
　　tan（π-α）= -tanα udwP~;<  
FvBTLO>  
　　cot（π-α）= -cotα sH/$6y$l  
vgiD+<:M.  
　　公式五： qEE % j  
2eK OWLjg  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： #|28tF2y  
5"_ag8\  
　　sin（2π-α）= -sinα B=;#`A  
siT*PW9I'  
　　cos（2π-α）= cosα v ,Lf`0  
li.D"dxD  
　　tan（2π-α）= -tanα `QS _d(L  
FhI;Ruc  
　　cot（2π-α）= -cotα &r 7hl|  
=Kf 5fB  
　　公式六： `|aen=$<  
WNr3 l:>  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： =%,}&nv/  
\kBvv> MY  
　　sin（π/2+α）= cosα ;%?b/0A <m  
RP} tGzo  
　　cos（π/2+α）= -sinα rtYwc)e  
X$wYL_[  
　　tan（π/2+α）= -cotα ]d{@)h&6  
smElJ$j  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9)I{8Dj+  
wF[XH2sta  
　　sin（π/2-α）= cosα #Lx7UB~I,  
o@><kV"JWc  
　　cos（π/2-α）= sinα 5i+_fh  
lm8]u.Rw  
　　tan（π/2-α）= cotα {#7r1  
Ry#]R (  
　　cot（π/2-α）= tanα eWZt rTpE  
qZD# \&  
　　sin（3π/2+α）= -cosα A(7PWeqg#  
:3]F^X}  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^B`[O5M`u  
 3%Fkz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Y~3qMJ  
?L=,b"  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~3`;c)yl  
7z3#;pm-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C2i~O  
c$oGQLe  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9fwF^)$  
8'WF3 c(  
　　tan（3π/2-α）= cotα gyy|D  
"V2mSA%  
　　cot（3π/2-α）= tanα M5#O2PwE-  
0R 2xvv  
　　(以上k∈Z) ['!:'T  
%s1K4+Xtcb  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3`xRVs@@  
s3t: .1%X  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ];Fv=8  
Yc"bFEP]  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } AJM:B7F'  
m j&XRY0R  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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