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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 CJ7~[r  
2."w!Qz  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. bVNLq.  
PO>9WUK@\  
　　1、三角函数本质： wG@w%NYfu&  
9 4]#EHz  
　　三角函数的本质来源于定义 )AC2{5z  
_>F53aW7>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5L3C;Q|  
7K P-;T  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 bdN6z6MX  
AFH) lM&r  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： rJ+HZe#:[  
<Y5w U5#0  
　　推导： KrvSJ SB  
Bfj:nJF  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 rR]=^e  
` ayJ0q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hy%k=7bN  
cql `yGI[  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) sy\P&{&B  
QT&{R/e  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %q00^'{hW  
,W#{ 4ki  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） n|DB&q?.  
5Ea,'B3`  
　　[1] c'3i_LO@%  
KyrpkMm!k8  
　　两角和公式  ]zFJ# k^  
.Y jFr1wV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s;.vW9q|K  
jSe83bpn  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  T-mkWHI!-  
c5 )"^$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB *Epq#pG  
}&GWMa*m}  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB % 1A].  
PJz"%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) R7k<dRt  
xv_W}~4F  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) A'\M~v#?w  
{tPE ;9   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  i:qv,Wnu  
w ' *  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .~M5<t}KCL  
L;j4~Rb7RQ  
倍角公式 #hg\@t`y  
(733v  
　　Sin2A=2SinA•CosA L L!J qK  
R`G~MpoaW&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 MyZqIwum  
d jlQ?{;  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） k#fW;5w  
46RhkK~c  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） R@~*I#u/<  
30H)s4  
三倍角公式 qM:E.]%l  
e";X"? L  
　　 uW(cP-2R  
#@\sH3  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4:5f fK  
Zd41)15n  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) %G m M7&  
qHd`y);  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F<FNMhN?  
WjKS!(gNP  
三倍角公式推导 TMW"~8m  
?]F' g!  
　　sin3a oslY%fY  
U[%,P+H;  
　　=sin(2a+a) /9]FBD  
]BWuP9?v  
　　=sin2acosa+cos2asina C2bYV[0`]  
{"Vhc8Mw  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Sz~U. to  
z9rY  
　　=3sina-4sin³a [PIw3.%d  
jR*'5]  
　　cos3a {"zH7 "`)Z  
93>lHg  
　　=cos(2a+a) n L1ES@X  
WK V`a`j  
　　=cos2acosa-sin2asina eN[mKFU4  
;'<\ :`  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ?T<)u|sa  
PV.}  
　　=4cos³a-3cosa `/5:*vlqf  
"?lX2~_10  
　　sin3a=3sina-4sin³a <T|^Rvx)  
,(@!-  
　　=4sina(3/4-sin²a) X:'^wHQxZr  
[0pI7o3ME  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] D%s&j5< (  
3f{Q^  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (8rOZ#dM  
6eLm;[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  %l.*C3F  
V%;k2k  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 8,a>X<J+$  
-(u&$!P#]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) GWQ{P  
"f0oY_   
　　cos3a=4cos³a-3cosa 1sa6{oKDJ  
N`j}KL4}l  
　　=4cosa(cos²a-3/4) &_0dX>  
X9nLidR  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] G+ >{< v  
Au|M)\d  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) jcX]E;d\K^  
~`dyzY  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) x>jl c)e  
Sq/>:8?X  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} [suE3=fG  
i0+>!{1T_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \T#H2   
GJ5 kA]_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1xquZn&v  
\8% M3O=X  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1{ \JtV  
sAg 6(  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) v{URanU  
3,u!t`b  
　　上述两式相比可得 < 8 !o "-  
)3:9okZ%  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) k*Z)\\:d  
+jA+h #  
半角公式 9E-~hI+m<  
f>f)Z xH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); DmvESgym\  
AcyJ 4_#  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ,VDMQ6Y  
=1|L e)Q  
和差化积 dA8b7Ix`JJ  
A j6HYq!#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B%u~~A  
V8?;*jwu=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DVT"}Z3)  
s| 2<UHS  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PkRw0i| O  
dj'N;rF i  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Lx(4=v-o  
Bc\M*M  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) cYe e2=7-  
O)1 FUd  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w4F y1 $  
kD&'->c.=  
积化和差 ||p'IqT@  
!o3'8@SC/B  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Hd%cx:q  
p+J=nQvFr  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] H^V5R$KM1r  
O7Shdl[}!  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 1c\#tg9D  
p":k!9/n  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] j1V(HGa$  
n^A.IoL .  
诱导公式 vwVQ$_j-  
M]7G g o  
　　sin(-α) = -sinα [ )v60Rjxu  
>#./w  
　　cos(-α) = cosα "r6vO(  
fFLShZ .  
　　sin(π/2-α) = cosα &%8: 4  
.69@1C^ S  
　　cos(π/2-α) = sinα bzp RM\M  
No6k-hf!  
　　sin(π/2+α) = cosα n5A#gxo@u  
d av5  
　　cos(π/2+α) = -sinα F(z^? j  
~K37R;gHG  
　　sin(π-α) = sinα s*AFdNi  
EC.4I&el  
　　cos(π-α) = -cosα U,E/c$cNj  
tS[``t!z  
　　sin(π+α) = -sinα oAl%J9l-;Y  
=S0\:KY  
　　cos(π+α) = -cosα 5LY@>Pq~  
m#,XcmN^  
　　tanA= sinA/cosA iC]zjxOE  
CXv8!zqWL  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 0'L+aP0amx  
#ah}!i  
　　tan（π/2－α）＝cotα Bl-&oF  
D|R)::v4q  
　　tan（π－α）＝－tanα G FHt()]n`  
 2=#WVp!  
　　tan（π＋α）＝tanα FR)#JSr6a  
#>gLu GW  
万能公式 ]|A]?Rz'  
A?jf!?pH~  
　　 _|K3(q<a_B  
3]vs"H  
其它公式 =.;:a~a 3  
%'"T\A[aC  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 )zkH}8"  
!}{W?|nau  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 DHn-, IG-  
jfBo r3&A  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 *b4|z,jt  
( raf u@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 h5]p4[@  
Yf}7W` ]I  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?0Z.nH'a3  
<kF+J,wImT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "^iS``u[  
3K/oS'!  
　　证: &5hNp  
s&l7c!0  
　　A+B=π-C g54il-`x*X  
:+JJ nZt  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3B;A5 .'  
;SoM]M5  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2xJ8W \]Y  
kvf,M;J0q  
　　整理可得 vp6C_JH62m  
gz\F_\V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC op -<++>Mo  
CfRU?fR~3  
　　得证 Gb{ ~M18  
= /4 So gW  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 'CUUD3JE  
Q]>^G"b}  
其他非重点三角函数 y#&W\TE  
;-b[8|k  
　　csc(a) = 1/sin(a) YOw" gAs  
`"2op0 !n  
　　sec(a) = 1/cos(a) Ih 'w[;]"  
I]v}9i#  
　　 &>*x~1LRN  
JE o@GfS  
双曲函数 ZzJrKeJ,  
+iT*'cAH  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?C=401 cB  
cS swvl>  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 vc]cpA2V  
^LC#(# A  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) sqLkBmGtp  
&!&R|gY  
　　公式一： p'<fi<X  
<IU> nH  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ^MPZ?/  
@ V 0^? iy  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0)ulX,z"  
kgG_'@  
　　cos（2kπ＋α）= cosα J[w&"CG  
Y)J\_  
　　tan（kπ＋α）= tanα HbSpfg5c  
+| ?Aa  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^0y_CxiQL  
EE RhG<m,  
　　公式二： |(=j#l ?  
?'Ieax[p  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `b6,t{DGD'  
Z^,T41 xo  
　　sin（π＋α）= -sinα hQGj  
~UYKsu#-.  
　　cos（π＋α）= -cosα WYwO&~  
Why6Z7A.  
　　tan（π＋α）= tanα Zb.0T&/L  
_Tac!Y@GH  
　　cot（π＋α）= cotα 9"8Omj  
e[?;I  
　　公式三： FM2AY\_t  
C hTa`c  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： c8&;vO\  
lkv"d9G/  
　　sin（-α）= -sinα =:A,Lz3k  
N92/]akX8  
　　cos（-α）= cosα 6BW|3b?,  
_R({0u\te  
　　tan（-α）= -tanα $$sUV$/j  
v4XzWj2&H  
　　cot（-α）= -cotα eUSw"T3  
LR 5F%$  
　　公式四： -8 OaD!Kk  
<= UBZ<c  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ge(~iXa)  
JL@U0I!#  
　　sin（π-α）= sinα yF# f&  
vYeA\N#b  
　　cos（π-α）= -cosα 1{/?f?;  
{Pwy;% ;C  
　　tan（π-α）= -tanα DfV!s60y(  
[6FUnvv`;  
　　cot（π-α）= -cotα P$DyfoH`  
Td `.T+  
　　公式五： fiU+ u  
iq!P  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T}}N,o.  
M ?yAq_  
　　sin（2π-α）= -sinα yUZ-) NdW  
`HKa^2  
　　cos（2π-α）= cosα f"=s@GO9  
YlX~9x!  
　　tan（2π-α）= -tanα detVs9e  
~&DoB j  
　　cot（2π-α）= -cotα \gm\o |H#  
mct|{-dDM  
　　公式六： (Nl\  
,?6rzevD  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *LXdfQCCU  
2?+q jf)  
　　sin（π/2+α）= cosα uw3eoS/!  
'Idw3YT|7  
　　cos（π/2+α）= -sinα Q[n>m5YA  
p3/MA|i  
　　tan（π/2+α）= -cotα \{2dW{gx  
>`_9i6{k  
　　cot（π/2+α）= -tanα ;FwkDR V}Y  
k2sQ*f0E?  
　　sin（π/2-α）= cosα dX/^)  
y9sp`'qx  
　　cos（π/2-α）= sinα r0X}w]Z5x  
bT'}(_  
　　tan（π/2-α）= cotα \oQQHl-  
'Z=fU5f\  
　　cot（π/2-α）= tanα A8k;r vf?  
` 7;Z_{(e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα a9roEf8K  
VxvW#r  
　　cos（3π/2+α）= sinα (v~*/t;Hx  
1GQ}k R  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }jeo8B61y  
g3DL]uQ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;IHN~V,&/M  
-&H<b[  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2cT,hAX  
I43 K5f+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ~<3RPtZ  
Mc|0ZH~^oR  
　　tan（3π/2-α）= cotα jC 0X)  
`!(/pn*  
　　cot（3π/2-α）= tanα wXa020  
;^.-SqQ,  
　　(以上k∈Z) 3m.+v  
dH5.X`=  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^p@S%uff  
(BH8x2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = aL^@R\O;A  
~XXLQm  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } xeunr:"}4?  
X1;cu-G{=  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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