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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 nlP}_L6M  
XUMpj7j_  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. GNL ^a,Q(  
hDZprM7  
　　1、三角函数本质： 1> -#3  
c{n4=&L@  
　　三角函数的本质来源于定义 <*t lVC  
J"?vXnrb  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }ON_(ogL  
(Ou'[B^  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !:v Y*O)  
Um{)Z(  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： PzHg.lT  
C=,O(nK\ct  
　　推导： lFXm"g0  
xv P\xs?  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #z7"tOHG`  
!K4LA${_a  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) NsMZHi:w<R  
G,9ah>+e  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) trh<w5  
w[D_kfJcM  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 H0,9.2jX{  
b|[vw pZi  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） p#e>1VY6u  
.~v?[i!  
　　[1] z :q] Ug  
+Ni,_(wGX  
　　两角和公式 VCjAm[?  
\{Vc9 T[}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB RK$ B ,Y  
B#*!d8ibPD  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  'J|\6m*  
CF jj2~  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k}fC3.4/W  
' r@XDAZ!  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB m%Rl_{  
4T-hZ0mO  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gdj/L 0T  
~^z$mQQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) j!c^r@KUQ  
-@uDYl  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <- ocvM  
?b yDv  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) [@qwDF#N;  
J!eCb Gd=  
倍角公式 #GfBP~O'  
rG@e&SK  
　　Sin2A=2SinA•CosA Cy]%0q0Q  
duu\H Ic  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @msd,-  
/o QA@"  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6Ps,zu  
Imu6{>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） sI&VO  
lg". W1m  
三倍角公式  %jh$IvA  
0@X57eP+  
　　 &,CIOd  
X5kz1r  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) N-'OtYV  
BeO+2=-Xn  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Bn!b  
',g<#jDR  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,8|fb_Pf T  
#uUCiN&j}  
三倍角公式推导 3ckLXt;~4  
2|WT1~DB  
　　sin3a >s? "fTie  
 gd/0*:  
　　=sin(2a+a) uID$e 6:  
S_b1qJa+  
　　=sin2acosa+cos2asina &/3 Jza  
&`ocS}dl  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /u/=+2  
sy}&1tWQp  
　　=3sina-4sin³a _(Y}.Svq  
is@p!u1  
　　cos3a ]>'WX#u7}  
\ r/RFEw  
　　=cos(2a+a) 776PI|xk  
Vz(oI fcq  
　　=cos2acosa-sin2asina (x|AH,dr  
|h1 h "  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u!7\/#`  
XwWG!xw  
　　=4cos³a-3cosa i)do2Sf  
n`ShT=;xG%  
　　sin3a=3sina-4sin³a \]HET5  
jB snvc*  
　　=4sina(3/4-sin²a) uL6|'/  
"nRG1#0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] mvLpSo "6  
T7T|:BlD  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) gx3v=`?_c  
j*0PZ\`a  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Fh<*bv*h{  
3 {]\(C  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;hW1i}T  
ci_3p}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) HfP0h? >*  
e?xu!0vA  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ,4+R#<\>.  
%,esA8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) dUW7k*6e  
4u)z8[vg-  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] l-g'KmO  
Xk,b4Bjt  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .h9-`Ii2  
cZ}H8G 4q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &ep%}z u  
9S>_\GHH  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )v*{|nm9/  
Ur v|^,  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /[yVocMA`p  
gU0E47qq  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] @!^^ykFy  
?"KX4]yr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 5@1L!wa>BZ  
Mf|w_rFae  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) AX]+|7~ub  
xGdw[FB  
　　上述两式相比可得 :!?QO{1$1  
)_= TRL=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) CGYn;E(//  
Et]@Ly}  
半角公式 %S dG#K:M  
'4w8hdx2[y  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #%|u"y6  
NiV&}hD(Z  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *2p0zrdGFk  
=[m'Ywnr  
和差化积 f1huV9 Tb  
lQ6 ]~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] S)BI. m>  
R:GOekP  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I$e?ISs  
/;@SXKJ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /f ;XA06}  
uruM~&IzN  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] G\rP?;aMR  
ccI5W]>QA  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) KY=8=`&koS  
}YszQ{`y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) M dR]~?GGq  
*e=~0=@;T  
积化和差 M=P"dv:~  
ozd0%HT  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8O ,Q_2  
M.`FozQyc.  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] oy<(+0D  
wqH/oF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] f3H'q@2u  
S28UH g  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] V(, uh-  
X\DUG1S>  
诱导公式 4?V.(2J  
bffvDIOX  
　　sin(-α) = -sinα (,n#T0h  
&&#;aKBg  
　　cos(-α) = cosα IQ@:}/z  
[7"83&  
　　sin(π/2-α) = cosα th14 0`y  
=}qe 0*2  
　　cos(π/2-α) = sinα l>!,:  
FX4h:R>  
　　sin(π/2+α) = cosα 3w/EugJ_PH  
fCK PEJd  
　　cos(π/2+α) = -sinα &cC]O%t  
)cYcu"x  
　　sin(π-α) = sinα mzuOuRqi`  
Hc^2Y  
　　cos(π-α) = -cosα J'j4U  
IO- qW^ ;  
　　sin(π+α) = -sinα RB.g rN  
!:<>>hkB  
　　cos(π+α) = -cosα |FAMbR6Z{  
)65]+k4O;  
　　tanA= sinA/cosA /k}g@"?  
Rfm?x@z_=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 6dNT<Gt  
8k/ @*A  
　　tan（π/2－α）＝cotα 'd;LeA P  
q0b#`)o  
　　tan（π－α）＝－tanα 7,)+Xs?B  
PM5zx@^*  
　　tan（π＋α）＝tanα ok6-FJA~[Y  
mx$M2e1Z[  
万能公式 d$ kMG`o  
=\!fKg:$[@  
　　 *(zo,Pt?  
g a|c-Am\c  
其它公式 y2|SAbVh"v  
AXK2WRW+  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 VI}m[0?Rq  
aJj$|}66P  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 3BBO7plzn  
effnjufd'  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 zmY]QZr  
Bm<`,bf  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 B` Q 5Z  
56?WKTK^  
　　对于任意非直角三角形,总有 z'P9Rg&pQ  
UW00n0@o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC n>fOoXN  
*"CPAth:  
　　证: iSI U1^  
+Qubn{+t  
　　A+B=π-C gQb"t/`S5  
C^C7}[)zT  
　　tan(A+B)=tan(π-C) P}(MY4FOR  
)q^} ^c"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ql|k{ph8  
$ie)5O.)Z  
　　整理可得 jT-_$O]Q  
=lCWc+CP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jS/.L V  
o#+NKqDH#  
　　得证 5Cp+OoB  
Cq^ UX  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S&:<:El5  
dw)!2yn  
其他非重点三角函数 '$wp2kz1V  
Oe>(l 9  
　　csc(a) = 1/sin(a) l(=]rk$  
H#$eqb[+  
　　sec(a) = 1/cos(a) q`hVxNs  
$cTL;gz  
　　 7L?.j&  
cC%V 0=V  
双曲函数 s uK<e1  
d}!uj(A  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?( $VoI  
l"%7-B# 7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /gJ*~-'J  
!,TcsW)wTq  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ~fC _|  
F > Sy/  
　　公式一： 1(nP@ pP  
H|_f 'G6j  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： CP{1^{>/ue  
8{T{ S~!  
　　sin（2kπ＋α）= sinα _fZqS)~&s0  
OE9Hpsx8N  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @/-O.{9S[  
uIF,Wg3_gu  
　　tan（kπ＋α）= tanα " [:NT2  
y4#@%Yu|  
　　cot（kπ＋α）= cotα XS"hr;4  
A KZp Em4  
　　公式二： Y0V4*$.  
e'nX<M)t  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： _' P^d}:  
d^s4='gOlA  
　　sin（π＋α）= -sinα Ei<Z M4;  
(vh2;j;h  
　　cos（π＋α）= -cosα 5r L0"3  
1(`"{I  
　　tan（π＋α）= tanα ;9EGh,oA~  
|w0a;7  
　　cot（π＋α）= cotα $"FXCosO  
xGf=0Jz  
　　公式三： K" DF$  
hiLfT5&   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t_it  
Xx79)Zzn*Y  
　　sin（-α）= -sinα j?+f ?w  
Rj;x 7x\3  
　　cos（-α）= cosα ,/58v?e/  
3 x=bPg  
　　tan（-α）= -tanα NjR$|dBcX`  
V/0Cq0,+  
　　cot（-α）= -cotα AH!r&F#:  
dc p<  
　　公式四： %(=PHL'  
`L -1|R)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Om83HQm  
ZS:nsJ/Z  
　　sin（π-α）= sinα =i.r4[!g  
N<[ }/K=X  
　　cos（π-α）= -cosα W+tA?y&  
ImL}(Ns  
　　tan（π-α）= -tanα -GW"/=  
c/! ;]Q  
　　cot（π-α）= -cotα 1n0 \Fp  
5,Z_asZ%  
　　公式五： g6"EV  
@Ow.lR6  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： xsDWX2g`8"  
l"|Z}BH  
　　sin（2π-α）= -sinα ;)!t9kg  
-<OBn.  
　　cos（2π-α）= cosα oPjH !l0  
H4^ v]<  
　　tan（2π-α）= -tanα N}S|s"zi`  
MZKdc2  
　　cot（2π-α）= -cotα 9hJka }(,=  
TTT=^Z^  
　　公式六： sp1O7Brp  
P&ur6 4Ll?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： MI/n@4|zk  
T8;|qsd=  
　　sin（π/2+α）= cosα 5O; VYO3  
%S86Q L[  
　　cos（π/2+α）= -sinα %=g<k41K@%  
o5Uw ,//I  
　　tan（π/2+α）= -cotα U#;.}X  
%%:cs   
　　cot（π/2+α）= -tanα m N\UZvKE  
YJ2.tp{  
　　sin（π/2-α）= cosα ?M42W6,Ac0  
>ez~k* y  
　　cos（π/2-α）= sinα 7d)^rM^^  
Jm$Te;w*  
　　tan（π/2-α）= cotα  E~YwRHoy  
Dh_A3lZ=  
　　cot（π/2-α）= tanα 8FEu&-MK  
4'Y# a85  
　　sin（3π/2+α）= -cosα G(BP%r0^  
OT@>k .QR  
　　cos（3π/2+α）= sinα LNil_'0  
wY]j:.4  
　　tan（3π/2+α）= -cotα b0',&nc  
r4hCu-8<  
　　cot（3π/2+α）= -tanα c8l9d(c  
2,C5[I S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Oqbg$CV'  
Vs/a*  
　　cos（3π/2-α）= -sinα i ltB2!  
+[t zuL  
　　tan（3π/2-α）= cotα E SEJL8  
0gR*r)S@  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0Dv7f"M  
<3SK0rXJ%  
　　(以上k∈Z) rn7-]8  
nDF t7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 #CTPJ2  
\;s?KS  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 8ZpU',s  
1X+7[<ca  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %/EJ6:m  
c`GT  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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